¿Pi está equivocado?
En Febrero del 2015 aparece en un canal de YouTube un artículo bajo el título «¿Pi está equivocado?» del afamado sitio Mundo Desconocido de JL, en el cual declara que el verdadero valor de Π “podría ser” 3,1446…, respaldándose en un supuesto descubrimiento de satélites que se caían de sus órbitas por haber sido calculadas usando el valor de Π tradicional, y cuando aplicaron el nuevo valor de Π, el problema se solucionó. Para ayudar a entender a todos aquellos que todavía no han comprendido o desconocen el tema relacionado a la matemática y trigonometría, expongo a continuación las evidencias demostrables que el valor de Π tradicional es correcto, y ese otro valor publicado en Mundo Desconocido es simplemente una bobada.
He sido censurado en Google
por este artículo, así como por JL que impide se publique mi comentario en su
sitio, y los seguidores del mismo no pueden tener acceso a mí artículo, porque
se halla bloqueado para los motores de los buscadores de la Web, de modo que es
poco probable que alguien pueda leer esta página, a menos que pudiera ingresar
de modo directo, por conocerla de antemano. Por eso, este es mi segundo
intento, publicando el contenido de la página nuevamente bajo otro título, para
ver si aparece de alguna manera.
Trigonometría
sobre hexágono para calcular Π
-Introducción
- Cálculo rápido mediante la función seno
- Aplicando la trigonometría a la usanza antigua
- Metodología
- Calculando el lado circunscrito
- Conclusión
Introducción
En un hexágono
sabemos de manera directa que la longitud de cada lado es igual a la longitud del radio. Ello nos
permite calcular los valores de f, hs y ht[1] no
solo para ese polígono, sino para cualquiera que sea múltiplo del mismo. Fue la
figura usada por Arquímedes para delimitar el valor de Π entre un mínimo y un
máximo.
Cuanto menor sea la longitud hs o lado del polígono
inscrito, tanto más se acerca al valor real de la longitud del arco del mismo,
y consiguientemente, al multiplicar por la cantidad total de lados del
polígono, a la del perímetro del círculo.
En tiempos de Arquímedes no era sencillo hacer
cuentas con muchos decimales, motivo por el cual no pasó de un polígono de 96
lados, pero como esa cantidad de lados es reducida para acercar hs a la
longitud del arco, utilizó otro polígono externo, circunscrito, para promediar
entre ambos al introducir el segmento ht[2] y
la ext r[3],
fijando la longitud buscada del perímetro (hc)[4]
entre dos valores extremos tratando de centrar de ese modo el valor de Π de la
circunferencia.
Cálculo
rápido mediante la función seno
Normalmente se usa la función de seno para calcular
la longitud del lado de cada polígono regular, siendo el método más sencillo,
pues ya tenemos los cocientes entre los lados del triángulo en
función del ángulo del centro del triángulo rectángulo en cuestión. El ángulo
se determina con la fórmula 360/n/2,
siendo n la cantidad de lados del
polígono, múltiplo del hexágono en nuestro caso, o de cualquier otro. Para averiguar
la longitud del lado del polígono se aplica la siguiente fórmula, muy simple,
que cosiste en multiplicar el seno del ángulo por el radio y luego
multiplicarlo por 2 o duplicarlo.
lado polígono= (sen a
· r) · 2
Para un polígono de 96 lados, lo que para el pobre
de Arquímedes le habrá llevado horas de calcular, nosotros podemos buscar en la
tabla el seno para el ángulo correspondiente a ese polígono:
360º/96/2=1,875 grados, que equivale a 1º 52’ 30’’
en notación sexagesimal. De una tabla de las usadas en la escuela técnica hace
unos 40 años, de Houel, obtuve los siguientes números:
1º: 0,017452; + 52’: 0,015126; + 30’’: 0,0001455 = 0,0327235 → P= 6,282912 →Π=3,141456
Como verán, si lo compararan con la tabla de Excel
de la figura siguiente más abajo, arroja un seno algo más elevado en magnitudes
diferentes al valor de seno dado por Excel (ver columna ½ l). Los decimales son los que juegan alterando los resultados
cuanto más uno afina las cifras.
Para calcular en un polígono de 1536 lados
necesitamos saber antes el seno del ángulo de 0,1171875 grados[5],
es decir, una pequeña fracción de 1 (un) grado. La única manera es recurriendo
a una calculadora científica donde se puede obtener el dato muy fácil con solo
apretar una tecla. La misma devuelve el seno como:
0,00204530629116409511441305892313, el cual,
multiplicado por 1536 nos da 3,141590463228050095738458505931…[6] [7]
Con el solo polígono inscrito arribamos a una
exactitud de cinco decimales. Como es lógico, el valor real del perímetro de la
circunferencia es ligeramente unos decimales mayores, pero inalterables los cinco primeros. Este aspecto es fundamental
se entienda bien. En la medida que se avanza en decimales, los primeros
decimales ya no cambian más, se mantienen por más que se ajusten los siguientes
decimales hasta el infinito. La variación en el incremento de los demás
decimales representa exactamente lo mismo que agregarles mayor cantidad de
nueves al 0,99999 para aproximar a la unidad. Representan lo mismo que los
infinitos decimales de la raíz cuadrada de 2. El hecho que su cantidad en
decimales sea infinita es solo una abstracción matemática, pues al igual que en
la paradoja de Zenón, son infinitos números para delimitar con mayor exactitud
una longitud finita.
Aplicando
la trigonometría a la usanza antigua
Como podrán notar, cuando se trata de ángulos muy
pequeños, los decimales mandan si es que buscamos acercarnos al valor real
determinado por la abstracción aritmética, aplicado en nuestro caso a una
figura geométrica plana. Si se fijan en las siguiente figura, en la
columna de ½ l, equivalente a la
mitad del lado del polígono, se han calculado aplicando la función c2=a2+b2 los valores equivalentes al seno del ángulo de cada polígono múltiplo del
hexágono, a fin de tener, no solo mayor precisión, sino, conocer el origen del
método.
La tabla muestra el otro camino para llegar a los
mismos resultados que usando la función de seno, pero en este caso aplicando solo el teorema de Pitágoras, de donde vienen las tablas
de senos, cosenos y tangentes. Es un método algo tedioso y complicado, pues
requiere de todos los procedimientos previos para acceder a la longitud de un
polígono regular de muchos lados.
Partiendo de un hexágono sabemos que el lado
vale igual al radio[8].
Pero para un dodecaedro, el siguiente polígono que le duplica en lados, el lado
no vale la mitad del radio, sino «la mitad y un poco más». Para calcularlo se
requiere conocer el valor de la apotema[9] partiendo
de la mitad del lado recto del polígono precedente[10],
luego conociendo el valor de f [11],
resultando de la resta entre el radio y la apotema del polígono anterior, se
puede conocer el valor del lado del polígono que lo duplica.
Para continuar, el valor de ese lado a la mitad se
constituirá en el nuevo valor del lado recto o cuerda del polígono calculado
para obtener el nuevo valor de la apotema[12],
a fin de continuar con el proceso con el siguiente polígono. Y así
sucesivamente. Esto para obtener la longitud del polígono inscrito múltiplo del
hexágono de origen.
Para calcular la longitud del polígono circunscrito,
simplemente se toma el valor de la apotema del polígono inscrito que le
corresponde, se calcula la proporción con el radio, se proyecta el radio al
polígono externo, y luego se calcula la longitud de la mitad del lado externo
del polígono, dato que surge partiendo del valor del radio extendido y el radio
del círculo. En la siguiente figura la tabla muestra los resultados del procedimiento.
Realizar los cálculos “a mano” con tantas raíces
cuadradas resulta una ardua tarea, que hoy día gracias a los ordenadores la
podemos hacer en unos minutos usando una simple tabla de Excel.
Metodología
Para aquellos que todavía no han podido captar lo
expuesto, trataré de ampliarlo un poco más. La metodología aplicada es de la
siguiente manera: El valor del segmento f para el hexágono, que es un polígono
regular de 6 lados, es: 0,13397459621556135323627682924706…
Corresponde a la distancia que más se aleja la curva del círculo circunscrito
del lado recto o cuerda del hexágono inscrito. Este valor se deduce una vez
calculada la apotema.[13]
Calculando el largo de la hipotenusa hs,[14]
la cual se correspondería con el lado de un dodecaedro, descubrimos es
0,5176380902050415246977976752481…, algo ligeramente mayor a 0,5, valor que si
lo usamos para calcular el Π del dodecaedro (P=12x0,51763…=6,21165…) nos lleva
a 3,1058… Obviamente, el largo de la línea curva del círculo o hc es algo mayor
que hs. Sin importar la cantidad de caras de un polígono inscrito, el perímetro
total será algo menor al del círculo. De allí que el método de Arquímedes lo
promedia con un polígono similar circunscrito, especialmente debido a la
imposibilidad de antaño de poder hacer los cálculos para un polígono de muchos
más lados que 96, ni soñar con uno de 1.536 lados para alcanzar cinco decimales
reales con solamente el polígono inscrito. Para esa cantidad de lados el valor
de Π es 3,14159046, y para el
mismo polígono circunscrito de 3,14159703. Promediando ambas tenemos:
m.a.=3,141593745;
mG=3,141593744998;
m.H=3,141593744996;
mCdt=3,14159374500,
real=
3,1415926535897932384626433832795…
Como se puede apreciar,
los cinco decimales correctos se mantienen y con ningún tipo de media se puede aproximar
lo suficiente al valor real del perímetro de la circunferencia, debido al
exceso que posee el valor del perímetro circunscrito a causa de la diagonal del
radio con respecto al lado (ver: ex r > f en la figura inicial). Hacen falta
decenas de miles de lados para aproximar desde fuera, pero siempre queda por
encima del valor.
De hecho, se acerca mejor
con el solo inscrito. Por ejemplo, para un polígono de 196.608 lados, la
longitud de su perímetro nos da un valor de Π de 3,141592653 en Excel,
con 9 decimales correctos.
Si observan nuevamente las tablas de Excel de ambas imágenes notaran como en la primera referida al polígono circunscrito los
valores de Π van ascendiendo desde 3 para el hexágono y a la inversa en la otra
tabla desciende desde un valor 3,464…a partir de la misma figura. Al duplicarse
los lados, en la primera tabla asciende a 3,1, mientras en la segunda desciende
a 3,2. Esto nos permite comprender que tan solo con el cálculo de dos
polígonos, con el dodecaedro (12 lados) nos damos cuenta que el valor de Π de
la circunferencia tiene que hallarse entre 3,1 y 3,2. Al calcular con el de 24
lados notamos que el inscrito se eleva a 3,13 y el circunscrito desciende a
3,15. Ya podemos imaginar hacia dónde confluirá el segundo decimal, quedando a la
vez inamovible para siempre el primero. Al introducir los datos del de 48
lados, notamos que el Π del polígono inscrito mide 3,139… contra el 3,146…del
circunscrito. Nos estamos aproximando a la segunda cifra imaginada del polígono
anterior. Con el de 96 lados queda establecida la segunda cifra, pues obtenemos
3,141…para el polígono inscrito y 3,142…para el circunscrito. Con el de 96
lados queda confinado asimismo el tercer decimal. Naturalmente, a medida que
continúen los cálculos, el inscrito se elevará en decimales para acercarse al
valor de la circunferencia, pero, no podrá superar la barrera del tercer
decimal del circunscrito, cuyo valor es 2. El Π de la circunferencia no puede
ser mayor que 3,142, de hecho, tiene que
ser menor a 3,142 por simple lógica aplicada, pues las sucesivas longitudes
del perímetro del polígono circunscrito descienden
a medida que aumentan la cantidad de lados. A su vez, aplicando la misma lógica
pero invertida para el polígono inscrito, también el valor de Π de la circunferencia
tiene que ser algo mayor a 3,141; con lo cual, ya tenemos establecidos los tres
primeros decimales, pues el incremento de Π tiene que forzosamente darse a
partir del cuarto decimal. A partir de este momento, queda completamente
destrozada la idea de imponer un valor de Π de 3,144, hallándose fuera de toda
lógica el tercer decimal, el equivocado 4.
Afirmar que Π podría valer 3,1446… es como sugerir
que la raíz cuadrada de 2 no sería 1,4142 sino más precisamente 1,4164, por
ejemplo. Pero sugerir tal cosa es como sugerir que 2 por 2 no es 4, o que el
teorema de Pitágoras estaría equivocado, lo cual es una afrenta a la matemática
misma.
Calculando
el lado circunscrito
Para quienes no entiendan bien eso de los triángulos
semejantes para calcular el lado circunscrito del polígono paso a explicar. La
línea ht se corresponde al cateto de un hexágono circunscrito, siendo la
tangente del círculo en el punto donde se forma el hexágono, cuya longitud como
hipotenusa es la mitad del radio de dicho polígono mayor por estar fuera del
círculo al que se adosa (r mayor de 1). La apotema de dicho polígono vale igual
que el radio del hexágono inscrito. Para calcular ht (x en la siguiente figura)
es necesario utilizar la propiedad de la semejanza del triángulo.
El segmento AB de la figura, que se corresponde a la
mitad del largo del radio de un hexágono inscrito, es naturalmente r/2. El
segmento que nos interesa conocer del hexágono circunscrito tendrá un valor
igual a 2x. El problema es averiguar x.
Para resolverlo, se tiene que el lado r o radio (OB)
guarda una relación con el lado a, o apt del hexágono inscrito (OA). En nuestro
ejemplo, ya vimos que el apt vale:
apt = 0,86602540378443864676372317075294…
y r/apt = 1,1547005383792515290182975610039…, siendo
este valor la razón proporcional para el hexágono.
Cualquier triángulo de igual ángulo de partida (en
nuestro caso el centro O de la figura) la semejanza entre los catetos se mantiene para
cualquier posición, ante lo cual conociendo solo uno de ellos y la razón,
podemos conocer el otro a otra longitud de cualquier cateto, en nuestro caso la
longitud del nuevo radio. Conociendo ambos podemos calcular luego el valor de x
mediante el teorema de Pitágoras.
Conocemos el valor extendido de la nueva apotema,
que ahora pasa a valer igual al radio. Necesitamos calcular el valor del nuevo
radio (OB’), una extensión del hexágono inscrito OB. Entonces:
r1 (lado OB’) = r · rz =
1,1547005383792515290182975610039…
Ahora podemos calcular el cateto x:
x = raíz(2)(OB’^2-apt1^2) =
0,57735026918962576450914878050193…
Que es lo mismo que la mitad del nuevo radio OB’.
Multiplicando el cateto x por 2 obtenemos la longitud del mismo, que es igual
al radio del hexágono circunscrito, que multiplicado por 6 no da el perímetro.
P1 = 6,9282032302755091741097853660231…, → Π=3,4641…
Este dato lo presento para poner en evidencia algo
importante. Promediando entre el hexágono de origen, cuyo perímetro suma 6
radios dando un valor de Π de 3, el valor de Π resultante entre 3 y 3,4641 es
3,23….
Para un dodecaedro, la distancia f es mucho menor,
siendo la que nos acerca desde el valor inferior del polígono inscrito a un
valor de 3,1058. El lado del polígono equivalente que circunscribe al círculo
se hallará de manera semejante al hexágono, obteniendo un perímetro superior
pero más cercano al de la circunferencia.
Para calcularlo debemos partir de la longitud de su
lado, el cual ya calculamos como hs, 0,5176380902050415246977976752481….
Trazando una nueva apotema dividiendo por la mitad dicha longitud, necesitamos
conocer la razón entre ésta y el cateto para proyectar el radio del dodecaedro
circunscrito. Para conocer el valor de la apotema del dodecaedro aplicamos la
siguiente fórmula:
Apt(12)= raíz(2) ((r^2) - ((hs/2)^2))
=0,9659258262890682867497431997289…
La razón será entonces:
rz1=1/0,9659258262890682867497431997289… =1,0352761804100830493955953504962…,
el cual corresponderá a la longitud del nuevo radio para el polígono
circunscrito e inscrito a su vez en su círculo exterior al primero.
Y el valor de f1 resulta sencillo = r – apt(12) =
0,0340741737109317132502568002711…
Teniendo el valor del nuevo radio podemos calcular
la longitud de ht. Ahora el radio se convierte en apotema, y entonces:
ht1= raíz(2) (1,0352761804100830493955953504962…^2 –
r^2) =0,26794919243112270647255365849412…
Este valor es la mitad de la longitud del lado del
dodecaedro exterior. El perímetro será entonces de:
6,4307806183469449553412878038588…, arrojando un valor de Π=3,21539…
Mediando entre 3,1058.. y 3,21539… obtenemos un
valor de 3,16.
Y ya tenemos los pasos para un polígono de 24 lados.
- Dividir por la mitad el lado del polígono anterior, de 12 lados.
- Calcular la apotema(24) usando la fórmula: raíz(2)((r^2) - ((hs(12)/2)^2))
- Calcular f2, restando al radio el valor de la apotema calculada.
- Calcular el lado hs(24) aplicando la fórmula: raíz(2)((hs(12)/2)^2+(f2^2))
- Calcular la razón entre el radio y la apt para proyectar el radio mayor.
- Calcular ht2 para conocer la mitad de la longitud de lado del polígono exterior.
- 0,5176380902050415246977976752481 / 2=0,25881904510252076234889883762405
- Raíz(2) 1 – 0,258819… =0,9659258262890682867497431997289…
- f2= 1-0,96592…=0,0340741737109317132502568002711…
- hs(24) =0,26105238444010318309681245579098… Perímetro 6,2652572265624763943234989389835…
- rz=1/0,965925…=1,0352761804100830493955953504962…
- ht2=raíz(2)(r mayor^2 – r^2)= 0,26794919243112270647255365849412…
Los cálculos a mano son prácticamente imposibles,
máxime teniendo en cuenta la enorme cantidad de decimales que tenemos para
manejar. Arquímedes llegó sudando hasta un polígono de 96 lados entregando un
valor de Π de solo tres decimales correctos, y seguro el tercer decimal no es
el 4 como afirma JL [15]
en Mundo Desconocido, sino el 3,141…,
tanto con el solo valor del polígono inscrito como promediando con el
circunscrito. Arquímedes demostró matemáticamente hace 2.300 años que Π tiene
un valor no inferior a 223/71 y no mayor a 22/7 , por lo cual, al menos,
tenemos tres cifras decimales invariables y exactas.
Hay un límite para realizar cálculos en nuestros
ordenadores, donde no es posible extender los lados hasta cifras enormes,
devolviendo en esos casos un resultado que no se corresponde al real. En mi
ordenador, por ejemplo, no puedo pasar de 196.608 lados para el inscrito y de
24.576 para el circunscrito.
Conclusión
Plantear dudas no es malo, pues solo de ese modo
podemos avanzar en conocimiento, y lo de JL es un reto semejante a plantear la
duda de si la raíz cuadrada de 2 es realmente 1,41421…¿No podría ser acaso
1,41731..? ¿No será que “algo oculto” no desea que avancemos imponiéndonos a
todos el 1,414 y no el “verdadero” 1,41731…?
Para averiguarlo debes saber calcular la raíz
cuadrada, de lo contrario, nunca lo podrás comprobar por ti mismo y tu duda
persistirá.
Por lo tanto, esto que expongo no es para que lo
sepa JL, pues lo sabe, pero es su negocio divulgar misterios donde no los hay
para atrapar ingenuos, y así engatusar a todos aquellos que no están lo
suficientemente instruidos para darse cuenta por sí mismos que eso del nuevo
valor de Π no es más que una burrada. No pierdan tiempo, chicos, leyendo y
escuchando misterios, ni se imaginen que descubrirán un secreto que “alguien”
no desea que sepan. Lo único que pueden descubrir es su propia ignorancia; y la
forma de resolverla es aprendiendo por ustedes mismos. Entonces ya no habrán
JL’s que los hagan dudar. En este mundo, para muchas personas, engañar, mentir
y defraudar es lo más natural, para ellos es solo un juego y un negocio.
De hecho, en este mundo ser honesto puede ser muy
peligroso.[16]
Espero que lo hayan disfrutado (si es que dejaron de
censurarme)
[1] Se
refiere a las medidas del segmento de flecha (f), la hipotenusa respecto a la
semicuerda interna al círculo (hs), y la tangente externa vista como hipotenusa a la semicuerda (ht), que se
corresponde a la mitad del lado externo del hexágono circunscrito.
[2] El cual
sobrepasa la longitud del semiarco.
[3] Refiere
a la extensión del radio para un polígono circunscrito. Dicho valor es
ligeramente superior a la longitud de la flecha f.
[4] Recta
imaginaria resultante de estirar el semiarco.
[5] El
ángulo se calcula efectuando la operación: (360/1536)/2
[6] Para
evitar multiplicar por 2 para obtener el perímetro y luego dividir por 2
nuevamente para conseguir directamente el valor de Π.
[7] Si solo
tomamos siete decimales, el 0,0020453, obtenemos un valor de Π con cuatro
decimales correctos, el 3,1415808.
[8] Columna
“lado plg”, significa “lado polígono.”
[9] Columna
“apt”.
[10] Columna
“hs”.
[11] La
distancia máxima entre la cuerda y el arco del perímetro.
[12] Columna
½ l.
[13] La
apotema se la puede calcular como r/2·raíz(2)3, pero también como
raíz(2)(r^2-1/2l^2), que es la
fórmula que utilicé en la tabla.
[14] Se calcula
usando la fórmula raíz(2)(1/2l+f^2)
[15] Ese
señor afirma es 3,144605511…
[16] Frase
de la película “El Padrino III”, de F.F. Coppola.
[1] Es una
copia con algunos agregados y mejoras, para ser un poco más didáctico dentro de mi posibilidad.
