Infinito
Anaximandro fue quien
introdujo el concepto de lo ilimitado (a-peiros). Lo infinito es tanto
ilimitado como indeterminado.
Infinito es algo indefinido.
Por ejemplo:
1/3= 0,333333…..infinito
La cantidad de decimales “3” es infinita, esto quiere
decir que si deseamos dividir una unidad
en tres partes exactamente idénticas (finitas) es matemáticamente
imposible en nuestro sistema decimal, solo es aproximativa. El
concepto de aproximativo encierra perfeccionamiento. El valor perfecto es
infinito, pero cuánto mayor cantidad de decimales tenga, más se acerca a su
valor perfecto, el cual es física o materialmente inalcanzable.
Hay quienes dicen que todo depende del tipo de base elegida. Si se elige las operaciones en base 3, el resultado serán tres partes iguales de 0,1. De modo que esa secuencia de 333… solo se da porque se usa la base 10. Sin embargo, más allá del tipo de base, no se trata de resolver una división que nos dé enteros o decimales, sino en demostrar que en la realidad no existen dos longitudes iguales ni medidas perfectas, todo en la naturaleza se trata de similitudes y aproximaciones, no de exactitudes repetibles. Esto es fácil de ilustrar si se le pide a alguien que mida exactamente 1 metro. Si “hilamos fino”, como suele decirse, es demostrable que la marca nunca será exactamente de 1 metro, sin importar las veces que lo repita. Tendremos aproximaciones reales a 1 metro por diversos factores. Esto suele verse también cuando se solicita medir algo. Casi nunca tendremos una sola medida, sino varias, las cuales luego mediante la aplicación del promedio estadístico reducimos a un número con la indicación de su precisión como +- x.
Y esto es lo que ocurre cuando se divide una unidad en tres partes, y el sistema de base 10 relacionando los números 1 y 3 nos revela la existencia de un valor aproximativo por la secuencia infinita que aparece. Matemáticamente, dividiendo 1 por 2 (1/2) nos da exactamente 0,5, sin embargo, en la realidad el valor 0,5 siempre será una aproximación por más que matemáticamente nos de entero, sin una secuencia de decimales infinita.
La Teoría de la Medida, base matemática de la Teoría de Probabilidades, que lleva 60 años bien estudiada por matemáticos de los que…deberíamos fiarnos (¡yo al menos sí me fío!) dice claramente que la probabilidad de obtener un valor concreto de una variable aleatoria que en el entorno de ese valor concreto sigue una distribución continua, es de exactamente cero.
Aquí hayamos encerrado el
concepto metafísico de la
Trinidad.
Contrariamente a esto, para
Aristóteles (384-322 a .
d. C.), “… ser infinito es una privación, no una perfección…” (Física,
III.7.208a) Ello es entendible desde el punto de vista humano que se ve privado
de alcanzarlo, no obstante la tecnología actual existe gracias en la medida que
las cifras matemáticas tienen mayor cantidad de decimales en la construcción de
cualquier mecanismo material complejo. Cuanto menor la tolerancia del error
mayor la perfección en el resultado para el cual fue propuesto.
Como es imposible negar la
existencia de procesos que parecen no tener fin, Aristóteles utilizó su
sempiterno sentido común para separar el concepto de infinito en dos: Infinito potencial e Infinito actual o real. El potencial es la proyección matemática hacia un valor
desconocido y el real una negación de su naturaleza material.
“No es posible que el
infinito exista como un ser en acto o como una sustancia y un principio. El
infinito existe [sólo] potencialmente, bien por adición o por división” (Física
III)
Por lo tanto, para
Aristóteles no es posible que exista el infinito real, solo el potencial, en
sus dos variantes: en sentido micro y en sentido macro. De allí que al
referirse a una cantidad de unidades de algo, de acuerdo a dicho concepto, la
existencia de una infinita cantidad de tales unidades no existe. Por ejemplo, imaginemos
ir agregando granos de arena formando un montículo hasta el infinito. Esa
montaña infinita de granos de arena no existe, dado que no se puede
cuantificar, medir, solo existe como una idea abstracta matemáticamente (o
potencialmente) posible, pero no factible en el mundo real.
La concepción donde niega la
posibilidad de un infinito real ha sido usada por muchos teólogos para señalar
que el mundo real o material no puede extenderse hacia un pasado infinito,
teniendo que haber tenido un principio o
comienzo para ser real. Tomás de Aquino, el teólogo y filósofo cristiano, usó
ese hecho de que no hay un número para representar el infinito instalado por
Aristóteles como argumento contra la existencia del infinito real, es decir,
repetía lo mismo que Aristóteles, pero con la diferencia de que Aristóteles
aceptaba la existencia de un universo hacia el pasado infinito sobre la base de
ciclos, algo que los teólogos no, porque buscaban justificar a un ser separado
de la materia llamado Dios como el único dueño del infinito para que rime con
lo que interpretaban del Génesis judío. De allí que Aquino incluso argumentaría
en el siglo XIII que si no tenemos un número que represente al infinito, éste
no existe.
«…hacia una mejor
comprensión. Gauss, en una carta a Schumacher en 1831, argumentaba contra el
infinito real:
-“Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo
completo, lo que en matemáticas es impermisible. El infinito es simplemente una
forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de
aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite
incrementarse sin restricción”»
La paradoja de Aquiles y la tortuga, propuesto por
Zenón durante el siglo V a. E.C.
Discípulo de Parménides,
Zenón introdujo hace más de dos mil quinientos años un razonamiento que en
apariencia retaba la realidad del movimiento afirmando es una ilusión. Propuso
varias aporías, entre ellas una muy famosa conocida como la paradoja de Aquiles
versus la tortuga. Concretamente afirmaba que Aquiles jamás alcanzaría a una
tortuga en una competencia de velocidad si le otorgaba una ventaja. Veamos el
planteo, con la ayuda de esta figura usada por H. Santander Ferreira en el
sitio de serbal.
Mientras Aquiles,
concediéndole ventaja a la tortuga, parte del punto A, la tortuga lo hace al
mismo tiempo de AB/2. Cuando Aquiles, quien se desplaza al doble de la
velocidad de la tortuga llega al punto AB/2, la tortuga se halla ahora en el
punto AB/4, la cual al ir a la mitad de la velocidad cubre la mitad de la
distancia que Aquiles cubre en el mismo tiempo. Hasta ahora todo bien, nadie
niega esto. Las distancias entre Aquiles y la tortuga se van achicando
proporcionalmente. Continuando, cuando Aquiles llega a AB/4 la tortuga avanzó
al AB/8, cuando llega al AB/8 se halla en AB/16, luego AB/32, AB/64 y así
sucesivamente hasta el infinito. En términos matemáticos Aquiles jamás podrá
alcanzar y superar a la tortuga. Sin embargo, en la práctica o mundo real, el
físico, resulta obvio que en un determinado momento Aquiles alcanza y sobrepasa
a la tortuga. ¿Cómo se explica esta paradoja?
Razonando, si proyectamos
hacia delante las marcas, por ejemplo a la décima línea desde AB/4 (en la línea
AB/2048), si la distancia entre A y AB/2 fueran 4 unidades, la tortuga habrá
recorrido un total de 3,99609375 unidades de distancia en 7,9921875 unidades de
tiempo desde AB/2 hasta AB/2048 (sus 10 líneas)[1],
mientras que Aquiles en ese mismo tiempo habrá recorrido las 7,9921875 unidades
de distancia hasta AB/1024[2].
Si le restamos las 4 unidades de ventaja que le dio, nos quedan que desde el
punto AB/2 Aquiles avanzó solo hasta 3,9921875 unidades de distancia; menos que
la tortuga. Se halla detrás de la tortuga a 0,00390625 unidades de distancia,
es decir en la línea anterior, la
AB /1024, mientras que la tortuga se halla en la AB /2048. ¿Habrá algún momento
que la sobrepase? No mediante esta forma de calcular.
En un cálculo físico real,
algo que vaya a una velocidad del doble que otro, en algún momento debe ser
alcanzado. Por ejemplo, si alguien tiene una velocidad de 1 mientras que otro
es de 0,5 (como el caso de Aquiles y la tortuga del ejemplo), al cabo de 10
unidades de tiempo el primero habrá recorrido 10 unidades de distancia mientras
que el otro solo 5 (en el mismo tiempo de 10 unidades). No hace falta mucho
esfuerzo, suponiendo le haya dado una ventaja inicial de 4 unidades de
distancia, para calcular que al cabo de 10 unidades de tiempo el más veloz se
hallaría a (10-4-5) 1 unidad de distancia por delante del menos veloz,
alcanzándolo a 8 unidades de tiempo.
¿Dónde esta el problema?
¿Cómo es posible que mediante una forma de calcular no solo la alcance, sino que la sobrepasa, mientras que en el
anterior nunca la alcanza? Si se observa bien una tabla con los datos de ambos,
salta a la vista al comparar que mediante la primera manera de cálculo Aquiles
nunca alcanza a la tortuga porque nunca se llega a las 8 unidades de distancia.
Se está calculando los infinitésimos entre 7 sin nunca llegar a 8, que es el
momento que la alcanza[3].
La infinitud entre ambos números instala la paradoja. Eso explica que, si bien
matemáticamente es correcta la operación, no se corresponde para aplicarla en
dicha situación, pues el planteo de Zenón introduce una trampa, ocultando el
factor de reducción (la división sucesiva por 2 de las distancias) mediante el
cual nunca llega al punto en que Aquiles alcanza a la tortuga, la cual siempre
se halla en la siguiente línea infinitesimal. Y de hecho, ni la tortuga ni
Aquiles jamás llegan al punto donde se juntan.
Veamos la siguiente figura
para entender mejor la manera correcta de calcular.
Observando la figura se puede
apreciar la manera correcta de exponer el tema de ambos corredores (A y B).
Aquiles (A) parte de la línea 0
a una velocidad determinada que es el doble de la
velocidad de la tortuga (B) que parte al mismo tiempo de la línea 4 en AB/4.
Las distancias aquí se hayan expresadas en unidades, del 0 al 10. Cuando B (la
tortuga) recorre 2 unidades de distancia llegando a la línea 6 (AB/6),
correctamente A se halla en la línea 4 (AB/4), porque su velocidad cubre el
doble de la distancia en el mismo tiempo. Podrán notar hasta aquí que no cambia
en nada con la manera que empieza el planteo de la paradoja de Zenón (Fig.
anterior). Luego continúa de la misma manera. Es donde la paradoja afirma
«cuando Aquiles llega a AB/4 la tortuga avanzó al AB/8», que de acuerdo a la
figura nueva equivale a decir que mientras la tortuga alcanza la línea 7
Aquiles está en la línea anterior, la 6. Hasta aquí coincide perfectamente.
Pero a partir de esa marca la paradoja va dividiendo el espacio sin nunca
llegar a la marca AB/8, agregando fracciones de recorrido de Aquiles por cada
fracción de avance de la tortuga indefinidamente. Es cuando dice «cuando llega
al AB/8 (A) se halla en AB/16 (B), luego AB/32, AB/64 y así sucesivamente hasta
el infinito». Allí aparece la trampa. Dialécticamente es posible decir eso sin
percatarse que en realidad se están subdividiendo las distancias por fuera de
las unidades de distancia por una razón que se incrementa de manera
proporcional o geométrica, sin que se correspondan más que en la forma de
hablar, pero claramente son unidades de distancia diferentes, cada vez más
pequeñas. Entre la línea 7 y 8 se comienza a subdividir en fracciones cada vez
menores sin nunca llegar a 8. Se hace creer que se hablan de las mismas
unidades de distancia cuando eso no es de esa manera por la manera capciosa de
argumentar. (Aquí podemos apreciar de cómo una forma de argumentar puede hacer
creer que existe una contradicción cuando no la hay al pasar a otra figura
aparentando hablar de la misma)
Es que salta a la vista por
demás claro que cuando la tortuga alcanza la línea 8 desde AB/6, como la
velocidad de Aquiles es el doble recorrerá exactamente el doble de unidades de
distancia que la tortuga desde AB/4, con lo cual Aquiles habrá llegado al punto
AB/8 junto con la tortuga precisamente en esa línea donde se marcan las 8
unidades de distancia. Y resulta muy fácil de ver como después, cuando el
corredor A llega a la marca A/10 desde AB/8, siendo dos unidades de tiempo, la
tortuga recorrerá una distancia de la mitad en el mismo tiempo, hallándose detrás
de Aquiles, en la marca B/9. Y eso es todo.
En un post una persona colgó
la solución matemática a la paradoja de Zenón, mencionando al matemático James
Gregory que la resolvió en el siglo XVII con la demostración donde la suma de
una serie infinita se dice que tiene un resultado finito.
Sobre este tema Wikipedia
dice:
Desde
el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de
serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que
aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos
términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se
obtiene una serie geométrica convergente:
Así,
en la interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era
desconocido en época de Zenón, se puede demostrar que Aquiles realmente
alcanzará a la tortuga, sobre la base de la demostración del matemático escocés
James Gregory (1638-1675) acerca de que una suma de infinitos términos puede tener un resultado
finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo
separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y
más pequeños (hasta el infinito más pequeño), y su suma da un resultado finito,
que es el momento en que alcanzará a la tortuga.
Al parecer, mediante el
cálculo infinitesimal es posible resolver la paradoja demostrando su trampa.
Pero en realidad solo se está diciendo, en rigor de verdad, que el resultado final es un
«aproximativo» al número finito donde Aquiles alcanzaría a la tortuga. Como muy
bien lo señala el ejemplo dado en Wikipedia, el resultado final de la formula
dada no es un número finito sino infinito (11,11111…). En otras palabras, decir
que James Gregory y el sistema de cálculo convergente demuestran que «una suma
de infinitos términos puede tener un resultado finito» no es cierto, es una
premisa falsa.
Comprobémoslo. La fórmula
aplicada es la siguiente:
En Wikipedia leemos:
La
serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser
calculada con la siguiente fórmula:
En
la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es 1/2 y «r» es la razón de
incremento (producto), que es 1/2. Sustituyendo esos valores en la fórmula de
suma se tiene:
Entonces
se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y
así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la
paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y
así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo
infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.
Nuevamente, en rigor de
verdad eso no es cierto para el caso de la serie sumatoria en cuestión. De lo
que se trata es sobre el concepto de límite de una serie geométrica
convergente, cuyo resultado es un aproximativo en serie infinita que nunca
llega a 1. Veamos:
Aquí, en la sumatoria
infinita partiendo de las fracciones de la unidad, n indica la cantidad de unidades o segmentos de distancias
infinitesimales sumatorias a considerar (un valor finito, por cierto) para
aproximarse al valor final (n =
cantidad de fracciones), donde Aquiles alcanzaría a la tortuga. El valor puede
ser 10, 100, 1000, etc., según sea la precisión buscada. Si elevamos 2 a la 10.000, y luego
dividimos 1 por el valor obtenido tenemos:
5,0123727492064520092975559337444e-3011. Es un valor muy pequeño, el cual
sumado a todos los sumandos anteriores de segmentos involucrados nos
aproximarán con una precisión de la indicada en el resultado obtenido, el cual
sabemos es 8 unidades de distancia de acuerdo al ejemplo dado. Pero nunca, en rigor de verdad, la fórmula nos
lleva al valor finito 8.
Pues: 4+2+1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+
…. = <8
Dado que:
8-5,0123727492064520092975559337444e-3011= <8
En el caso de nuestro
ejemplo, solo nos acercamos a una precisión de n = 8 (8 es la cantidad de fracciones sumadas y no el valor límite,
que en nuestro caso es una coincidencia), es decir, ocho sumandos
fraccionarios, que es cuando se comienzan a dividir las distancias recorridas
en segmentos cada vez más pequeños.
1
--- = 0,00390625
¿Recuerdan este número? Era
la diferencia entre Aquiles y la tortuga en unidades de distancia, en este caso
fraccionaria en la medida que se acercaban cada vez más. Si a esa cifra le
sumamos todas las fracciones anteriores, si hacen la cuenta, les dará
0,99609375. Si a ello le agregamos las unidades sin fraccionar recorridas por
la tortuga de 2 + 1 obtenemos 3,99609375 unidades de distancia. Si a ese valor
le agregamos las 4 unidades de ventaja dada por Aquiles, obtenemos 7,99609375, distancia a la que se
hallaría la tortuga al cabo del tiempo transcurrido de la carrera que es de, en
nuestro caso 7,99609375 - 0,00390625 = 7,9921875 unidades de tiempo; valor que
indicaría la distancia alcanzada por Aquiles, algo detrás de la tortuga. Ahora,
si restan al valor 8 (el cual nos damos cuenta que es claramente el límite) la
diferencia obtenida de la fórmula convergente, se descubrirá que el valor
obtenido es precisamente la distancia alcanzada por la tortuga:
8 - 0,00390625 = 7,99609375
Si queremos conocer la
velocidad de la tortuga veremos que es:
v = d/t = 3,99609375 /
7,9921875 = 0,5
De la misma manera se puede
calcular la distancia alcanzada por Aquiles. Para Aquiles n sería 7, pues son 7 unidades fraccionarias (aquí esta la trampa
dialéctica).
1
--- = 0,0078125
Conociendo que el límite es
el valor finito 8, si le restamos la fracción obtenida tenemos:
8 - 0,0078125 = 7,9921875
Y esa es la distancia
alcanzada por Aquiles, siempre una fracción n
detrás de la tortuga, tal como ya vimos.
Y en cuanto a la velocidad de
Aquiles, notamos es igual a 1 (v=d/t = 7,9921875 / 7,9921875 = 1), con lo cual
nos damos cuenta que la velocidad de la tortuga es la mitad (0,5) de la
velocidad de Aquiles, como ya lo habíamos comprobado.
Rigurosamente, resumiendo, en
cualquier caso de n siempre será un
valor muy cercano a 8, casi 8, pero nunca se llega al valor 8, porque siempre
se le restara a ese 8 o unidad finita una fracción infinitesimal. De eso trata en realidad la paradoja de
Zenón, señalando la existencia de infinitos espacios antes de llegar al valor
en dónde Aquiles alcanza a la tortuga. La paradoja está bien formulada para
mostrar la precisión a la que podemos arribar, mediante cálculos matemáticos
como el descrito de la serie convergente, un adelanto matemático muy posterior.
Pero de ninguna manera en rigor de verdad la serie convergente permite arribar
a un número finito, ese número es señalado solo como límite deductivo por la
aproximación alcanzada.
Por otro lado, tampoco la tortuga alcanzaría la marca
8, ni Aquiles la alcanzaría, correspondiendo solamente a nivel de aproximación,
no de realización, donde las fracciones de tiempo empleado también se
fraccionarían en cifras cada vez más pequeñas hasta el límite infinito de 0,
momento en el cual ambos se encuentran en la marca de 8. De esta manera, lo
infinito se haya en lo finito, es decir, lo finito contiene al infinito.
Me parece que esta manera de
ver la matemática permite a quienes quieran aprender, en vez de memorizar
fórmulas suponiendo premisas incomprensibles o contradictorias, tengan un nivel
de entendimiento superior. Por lo general, los libros de matemáticas (como en
muchos órdenes de la vida) en vez de simplificar lo complejo, convierten en
complejo algo simple.
Fuentes:
http://www.taringa.net/posts/apuntes-y-monografias/16581584/Aquiles-y-la-Tortuga---Solucion-Matematica-a-la-paradoja.html
[1] La suma
es: 2+1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256 = 3,99609375 (total 10 sumandos
con 8 fracciones)
[2] Desde A
son 7 fracciones y 3 enteros.
[3] A partir
de 7 unidades de distancia y tiempo de Aquiles (cuando se halla en AB/8), éste
pasa a 7,5; 7,75; 7,875; 7,9375; 7,96875; 7,984375 y 7,9921875 al cabo de 10
líneas de avance, mientras que la distancia de la tortuga cuando Aquiles se
halla en 7 ella está en 7,5 (en AB/16); luego 7,75; 7,875; 7,9375; 7,96875;
7,984375; 7,9921875 y finalmente 7,99609375.
